Permasalahan Garis Singgung

Posted on

Berikut ini bentuk limit alternatif dari turunan yang berguna untuk menyelidiki hubungan antara turunan dan kekontinuan. Turunan f di c adalah

Persamaan Definisi Turunan

apabila limitnya ada. Perhatikan gambar berikut.

Definisi Turunan

Yang perlu diperhatikan adalah bahwa nilai limit pada bentuk alternatif ini dikatakan ada apabila

Limit Kiri dan Kanan

ada dan sama. Limit seperti ini secara berturut-turut disebut turunan dari kiri dan dari kanan. Dari uraian tersebut kita dapat mengatakan bahwa f memiliki turunan pada selang tutup [a, b] jika f memiliki turunan pada (a, b) dan jika turunan dari kanan a dan turunan dari kiri b, kedua-duanya ada.

Jika suatu fungsi tidak kontinu pada x = c, maka fungsi tersebut juga tidak akan memiliki turunan di x = c. Sebagai contoh, fungsi bilangan bulat terbesar

Bilangan Bulat Terbesar

tidak kontinu di x = 0, yang menyebabkan tidak akan memiliki turunan di x = 0. Perhatikan gambar di bawah.

Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

Kita dapat membuktikan bahwa f tersebut tidak memiliki turunan di x = 0, sebagai berikut.

Pendekatan Kiri

dan

Pendekatan Kanan

Walaupun benar bahwa turunan mengakibatkan kekontinuan, akan tetapi konvers dari pernyataan ini belum tentu benar. Dengan kata lain, ada kemungkinan suatu fungsi kontinu di x = c, tetapi tidak memiliki turunan di x = c. Contoh 1 dan 2 berikut mengilustrasikan kemungkinan tersebut.

Contoh 1: Grafik dengan Belokan Tajam

Fungsi f(x) = |x – 1| seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, merupakan fungsi yang kontinu di x = 1. Akan tetapi,

Pendekatan Kiri Contoh 1

dan

Pendekatan Kanan Contoh 1

tidak sama. Sehingga f tidak memiliki turunan di x = 1 dan grafiknya tidak memiliki garis singgung di titik (1, 0).

Grafik Contoh 1

Contoh 2: Grafik dengan Garis Singgung Vertikal

Fungsi f(x) = x1/3 kontinu pada x = 0, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Grafik Contoh 2

Akan tetapi karena limit

Turunan Contoh 2

tak terhingga, kita dapat menyimpulkan bahwa garis singgungnya vertikal ketika x = 0. Sehingga, f tidak memiliki turunan pada x = 0.

Dari contoh 1 dan 2, kita dapat melihat bahwa suatu fungsi tidak memiliki turunan pada suatu titik ketika grafiknya belok tajam dan garis singgungnya vertikal.

Teorema: Turunan Menyebabkan Kekontinuan
Jika f memiliki turunan pada x = c, maka f kontinu pada x = c.

Bukti: Kita dapat membuktikan bahwa f kontinu pada x = c dengan menunjukkan bahwa f(x) mendekati f(c) ketika xc. Untuk menunjukkan ini, kita gunakan turunan pada x = c dan menentukan limit berikut.

Bukti Teorema

Karena selisih f(x) – f(c) mendekati 0 ketika x → 0, kita dapat menyimpulkan bahwa limit f(x) dengan xc sama dengan f(c). Sehingga, f kontinu pada x = c.

Pernyataan-pernyataan berikut merupakan ringkasan dari hubungan antara kekontinuan dan turunan.

  1. Jika suatu fungsi memiliki turunan pada x = c, maka fungsi tersebut kontinu pada x = c. Sehingga, turunan mengakibatkan kekontinuan.
  2. Ada kemungkinan suatu fungsi kontinu pada x = c, tetapi tidak memiliki turunan pada x = c. Sehingga, kekontinuan tidak menjamin adanya turunan.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s