Aplikasi Integral: Menentukan Volume dengan Metode Cakram

Posted on

Aplikasi integral tertentu sering kita gunakan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan. Salah satu penggunaan integral adalah dalam menentukan volume benda ruang yang memiliki dua sisi yang sama, apabila kita memotongnya menurut sembarang garis yang melalui pusat bidang alasnya. Bangun ruang seperti ini sering disebut benda putar. Benda putar tersebut sering dijumpai di mesin ataupun pabrik. Beberapa contohnya adalah corong minyak, pil, botol, piston, dan as sepeda, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Contoh Benda Putar

Apabila suatu daerah pada bidang diputar menurut garis tertentu, maka akan menghasilkan benda ruang, dan garis tersebut disebut sebagai pusat putaran. Benda ruang hasil putaran yang paling sederhana adalah tabung tegak atau bisa kita sebut sebagai cakram, yang dapat dibentuk dengan memutar persegi panjang menurut suatu garis yang berimpit dengan salah satu sisinya, seperti yang terlihat pada gambar berikut.

Cakram

Sehingga, volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Volume Cakram

Dengan R dan t secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.

Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.

Volume Benda Putar

Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,

Volume Satu Bagian

Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,

Rumus Volume Benda Putar

Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.

Integrasi Volume Benda Putar

Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat dilihat seperti berikut.

Tabel Rumus Volume Sistematis

Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai berikut.

Pusat Sumbu Vertikal

Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.

Putaran Sumbu Vertikal dan Horizontal

Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x). Perhatikan contoh berikut.

Contoh: Penggunaan Metode Cakram

Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh grafik,

Fungsi dalam Contoh Soal

Dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ π) dengan pusat putaran sumbu-x.

Contoh Soal

Pembahasan Dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun ruang adalah,

Jari-jari Benda Putar

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.

Pembahasan Contoh Soal

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume.

 

Soucer: Pendidikan matematika

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s